「飽くまでも・・・」という言葉がありますが、
これは最後まで・根気強く・・という意味があるようです。

語源・由来は、「あきるまでも～をし続ける」という意味からでしょうか？

回答

語源・由来は、その通りです。「あきるまでも～をし続ける」つまり、
【もう飽きたと思うほど十分に】【徹底的に】【最後まで】という意味です。

あくまで【飽迄】 動詞「飽く」に助詞「まで」がついてできた語。
もう飽きたと思うほど十分に。たっぷりと。徹底的に。
【あくまでも】「あくまで」に助詞「も」がついてできた語。徹底的に。最後まで。
（『日本国語大辞典』小学館）